1

Działania na liczbach naturalnych, całkowitych i wymiernych – Egzamin Ósmoklasisty z matematyki

Pojęcia matematyczne, które uczeń ósmej klasy matematyki powinien znać:

Typ 1.1 – Działania na liczbach wymiernych, całkowitych, dodatnich i ujemnych

Uczeń powinien umieć wykonywać działania na liczbach zarówno całkowitych, jak i wymiernych, w tym na liczbach ujemnych i dodatnich. Zrozumienie tych pojęć jest podstawą dla rozwiązywania zadań matematycznych. Umiejętność dzielenia oraz wykonywania działań na liczbach wymiernych jest niezbędna w dalszym rozwiązywaniu zadań matematycznych na maturze oraz w nauce matematyki na poziomie liceum.

Zadanie 2 (1 pkt)

Ile jest równa wartość wyrażenia:

\[ 1{,}6 – \frac{3}{10} \div \left( -2 \frac{1}{4} \right) \]

Odpowiedzi:

  • A. \( \frac{38}{45} \)
  • B. \( 1 \frac{11}{15} \)
  • C. \( 1 \frac{4}{15} \)
  • D. \( 2 \frac{27}{40} \)
✅ Szybka odpowiedź

Poprawna odpowiedź to: \( 1 \frac{11}{15} \)

🎥 Wyjaśnienie video
Zadanie 3 (1 pkt)

Dane są trzy wyrażenia:

I. 6 − 3,6 II. 3,6 − 6 III. (3,24 − 2,06) · (−2,5)

Wartości których wyrażeń są niemniejsze niż –2,4?

Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odpowiedzi:

  • A. Tylko I i II.
  • B. Tylko I i III.
  • C. Tylko II i III.
  • D. I, II i III.
✅ Szybka odpowiedź

Poprawna odpowiedź to: A. Tylko I i II
I: 6 − 3,6 = 2,4
II: 3,6 − 6 = –2,4
III: 1,18 · (–2,5) = –2,95 ❌

🎥 Wyjaśnienie video
Zadanie 4 (2 pkt)

Dane są liczby:

\( a = -2\frac{1}{3} \)

\( b = 0{,}25 \)

Wyznacz liczbę:

  1. przeciwną do sumy danych liczb,
  2. odwrotną do iloczynu danych liczb.
✅ Szybka odpowiedź

1) \( -\left( -2\frac{1}{3} + 0{,}25 \right) = \frac{25}{12} \)
2) \( \frac{1}{ -2\frac{1}{3} \cdot 0{,}25 } = -\frac{12}{7} \)

🎥 Wyjaśnienie video
Zadanie 5 (1 pkt)

Dany jest prostokąt o wymiarach jak na rysunku.

\( \frac{2}{3} \)
\( 3{,}2 \)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Obwód prostokąta jest równy \( 7 \frac{3}{8} \)
P F
Pole prostokąta jest równe \( 2 \frac{2}{15} \)
P F
✅ Szybka odpowiedź

Obwód: \( 2 \cdot \left( \frac{2}{3} + 3{,}2 \right) = 7 \frac{11}{15} \) ❌
Pole: \( \frac{2}{3} \cdot 3{,}2 = 2 \frac{2}{15} \) ✅
Poprawne odpowiedzi to: F, P

🎥 Wyjaśnienie video
Zadanie 6 (3 pkt)
1) Oblicz \( (1 \frac{1}{2} + 2 \frac{1}{5}) – (1 \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{1}{5}) \)
2) Oblicz \( (-1 \frac{2}{3} – (-2 \frac{1}{6})) – \left( \frac{-5}{3} \div \frac{-13}{6} \right) \)
3) Oblicz \( \frac{2 \frac{1}{4} + \frac{1}{6}}{2 \frac{1}{4} – \frac{1}{6}} \)
✅ Szybka odpowiedź

1) \( \frac{65}{30} – \frac{99}{30} = -\frac{34}{30} = -1 \frac{1}{15} \)
2) \( \frac{1}{2} – \frac{10}{13} = -\frac{7}{26} \)
3) \( \frac{29}{12} \div \frac{25}{12} = \frac{29}{25} \)

🎥 Wyjaśnienie video
Zadanie 7 (1 pkt)

Butelka o pojemności \( \frac{3}{4} \) litra napełniona jest w połowie sokiem. Arek wypił z tej butelki \( \frac{1}{8} \) litra soku. Resztę po równo wypiły Beata i Celina.

Czy każda z tych osób wypiła tyle samo soku?

Wybierz odpowiedź T albo N i jej uzasadnienie spośród A i B.

TTakA\( \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{3}{4} : 2 – \frac{1}{8} \right) = \frac{1}{8} \)
NNieB\( \left( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} – \frac{1}{8} \right) : 2 = \frac{1}{8} \)
✅ Szybka odpowiedź

Poprawna odpowiedź to: T, B
Sok w butelce: \( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \)
Po Arku zostało \( \frac{2}{8} \), a każda z pozostałych osób wypiła \( \frac{2}{8} : 2 = \frac{1}{8} \)

🎥 Wyjaśnienie video
Zadanie 8 (1 pkt)

Jaką liczbę należy dodać do \( -12 \), aby otrzymać \( -3\frac{1}{2} \)?

Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych:

  • A. \( 15\frac{1}{2} \)
  • B. \( 8\frac{1}{2} \)
  • C. \( -8\frac{1}{2} \)
  • D. \( 15\frac{1}{2} \)
✅ Szybka odpowiedź

Poprawna odpowiedź to: B
\(-3\frac{1}{2} – (-12) = -3\frac{1}{2} + 12 = 8\frac{1}{2}\)

🎥 Wyjaśnienie video
Zadanie 9 (1 pkt)

Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Od jakiej liczby należy odjąć \( -7 \), aby otrzymać \( -3 \frac{1}{2} \)?

  • A. \( -4 \frac{1}{2} \)
  • B. \( 10 \frac{1}{2} \)
  • C. \( 4 \frac{1}{2} \)
  • D. \( -10 \frac{1}{2} \)
✅ Szybka odpowiedź

Poprawna odpowiedź to: D
\(-3 \frac{1}{2} + (-7) = -10 \frac{1}{2}\)

🎥 Wyjaśnienie video
Zadanie 10 (2 pkt)

Dane są liczby:

\[ a = \frac{-3 + \frac{1}{2} \cdot (-5)}{-0{,}5} \quad \text{oraz} \quad b = \left( -\frac{1}{11} \right) : (-0{,}1) + (-9) : 11 \]

Uzasadnij, że liczba \( a \) jest odwrotna do liczby \( b \).

✅ Szybka odpowiedź

\( a = \frac{-3 + (-\frac{5}{2})}{-0{,}5} = \frac{-\frac{11}{2}}{-\frac{1}{2}} = 11 \)
\( b = \left( -\frac{1}{11} \right) : (-0{,}1) + \frac{-9}{11} = \frac{1}{11} \cdot 10 + \left( -\frac{9}{11} \right) = \frac{10 – 9}{11} = \frac{1}{11} \)
Liczba \( a = 11 \) jest odwrotnością \( b = \frac{1}{11} \), ponieważ \( a \cdot b = 1 \)

🎥 Wyjaśnienie video
Zadanie 11 (1 pkt)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczby \( -4{,}15 \) nie można zapisać w postaci:

Odpowiedzi:

  • A. \( \frac{-415}{100} \)
  • B. \( -4 \frac{3}{20} \)
  • C. \( \frac{-83}{20} \)
  • D. \( \frac{-415}{1000} \)
✅ Szybka odpowiedź

Poprawna odpowiedź to: \( \text{D. } \frac{-415}{1000} \)
Ponieważ \( -4{,}15 = \frac{-415}{100} \), a nie tysięczna część tej liczby.

🎥 Wyjaśnienie video

Najczęściej zadawane pytania – liczby naturalne, całkowite i wymierne

1. Czym są liczby naturalne?

Liczby naturalne to zbiór liczb, który obejmuje wszystkie liczby całkowite nieujemne, czyli 0, 1, 2, 3, itd. Są one podstawowymi elementami w matematyce i służą do liczenia oraz porządkowania. Warto pamiętać, że liczby naturalne nie obejmują liczb ujemnych ani ułamków.

2. Jakie są podstawowe działania na liczbach naturalnych?

Podstawowe działania na liczbach naturalnych to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Dodawanie i mnożenie są działaniami, które zawsze dają wynik w zbiorze liczb naturalnych, natomiast odejmowanie i dzielenie mogą prowadzić do wyników spoza tego zbioru, zwłaszcza gdy odejmujemy większą liczbę lub dzielimy przez zero.

3. Czym są liczby całkowite?

Liczby całkowite obejmują wszystkie liczby naturalne, ich ujemne odpowiedniki oraz zero. Możemy zatem mówić o zbiorze liczb całkowitych jako o liczbach wymiernych bez części dziesiętnych, co czyni je bardziej uniwersalnymi w obliczeniach.

4. Jak definiuje się liczby wymierne?

Liczby wymierne to takie, które można zapisać jako ułamek w postaci a/b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, a b nie jest równe zero. Każda liczba całkowita jest również liczbą wymierną, ponieważ może być zapisana jako ułamek z mianownikiem równym 1.